Планирование экспериментов “на кухне”

Если вам повезло поучаствовать в тренинге шести сим для черных поясов, то наверняка тему планирования экспериментов вы “поглощали” вместе с деревянной катапультой. Этот тренажер отлично справляется с задачей, превращая скучные статистические расчеты в увлекательную игру. Но в домашних условиях раздобыть его не просто. Но и без него планирование экспериментов можно превратить из скучной теоретической темы в практическую симуляцию с пользой. Именно это и постаралась сделать редакция нашего сайта, встретившись на внеочередном заседании.

Нашу встречу мы решили провести не за столиком на свежем воздухе, а возле духовой печи на кухне, проводя оптимизацию рецепта шоколадных маффинов. Записывайте оригинальный рецепт:

  • стакан муки;
  • полстакана сахара;
  • 1 яйцо;
  • полстакана кефира;
  • 100 г масла;
  • пол чайной ложки ванильного сахара;
  • чайная ложка разрыхлителя;
  • столовая ложка какао.

Смешиваем сухие ингредиенты отдельно от жидких. Затем соединяем обе смеси, раскладываем по формам и – в духовку на 20 минут.

Ниже мы рассмотрим, как применить планирование экспериментов для поиска оптимального соотношения ингредиентов. Поскольку факторы выражены весьма специфично, дальнейшее оперирование их уровнями будет происходить с использованием именно этой “солянки мер и весов”. К слову сказать, более опытные в делах кухонных участники нашего собрания поспешили убедить меня в универсальности этой системы единиц измерений. Ну что же, целиком доверяю их авторитетному мнению.

Из 8 доступных факторов мы решили оперировать тремя: количеством сахара, кефира и какао. Эти три фактора были выбраны нами как наиболее влияющие на вкус маффинов. Каждый из факторов мы решили протестировать на двух уровнях:

  • сахар: от 1/3 до 2/3 стакана;
  • кефир: от 1/3 до 2/3 стакана;
  • какао: от 1 столовой ложки до 1/2 стакана.

Для указанного количества факторов и уровней можно выбрать несколько планов. Запустить Minitab и в меню Stat выберите DOE > Factorial > Create Factorial Design. В появившемся окне нажмите кнопку Display Available Designs:

Мы собираемся исследовать 3 фактора, поэтому ищем колонку с цифрой 3 и смотрим, что в этой колонке указано. Мы можем выбрать полнофакторный эксперимент – для этого понадобится провести 8 опытов – или дробнофакторный, для которого будет достаточно всего 4-х опытов.

При условии, что у вас достаточно ингредиентов и стоимость эксперимента не высока, вы скорее всего выберете полный факторный план. Мы же исходили из того, что вмещала 1 форма для выпечки. Получилось, что дробный факторный план сопоставить с ней легче, имея на каждой форме по 3 дубля1. Также ввиду наличия 2-х форм на нашей кухне мы решили выбрать дизайн с двумя репликами2.

Итак, создаем план:

  1. В меню Stat перейдите DOE > Factorial > Create Factorial Design.
  2. В появившемся окне выберите 2-level factorial (default generator) – это общий план для количества факторов от 2 до 15.
  3. И укажите количество факторов (Number of factors) – 3.
  4. Затем следует нажать кнопку Designs, выбрать нужный план (мы выбрали 1/2 fraction, что эквивалентно плану 23-1) и задать количество реплик (Number of replicates for corner points).
  5. Нажимаем Ok и возвращаемся в предыдущее окошко.
  6. После выбора плана, программа активирует остальные кнопки – Options, Factors и Results. Нажимаем по очереди:
    • Options – в этом меню нам доступны некоторые настройки плана. Выбирать что-либо не обязательно, но в данном случае я снял флажок с опции Randomize runs (установить опыты в случайном порядке). С катапультой проще – можно рандомизировать опыты. А вот с тестом так не получится – тут каждый раз новый замес не будешь делать. Кроме того, все “опыты” будут печься вместе в одной духовке.
    • Factors – в этом меню можно задать названия факторов и их уровни. Если уровни можно оставить закодированными (как +/-), то названия факторов советую всегда задавать.
    • Последнюю кнопку можем пропустить и нажать сразу на Ok.

Вот что у нас получилось. Информация о нашем эксперименте в окне Session:

Последовательность проведения опытов на рабочем листе:

Согласно полученной таблице, мы провели следующие приготовления:

  1. Смешали 2 стакана муки, 2 яйца, 200 г масла, чайную ложку ванильного сахара, 2 чайные ложки разрыхлителя (все ингредиенты были взяты в двойном количестве).
  2. Полученную смесь разделили на 2 части.
    • В первую добавили треть стакана сахара.
    • Во вторую – две трети стакана сахара.
  3. Каждую из полученных смесей снова разделили на две части.
  4. Последующее добавление кефира и какао провели согласно таблице эксперимента.

Ниже приводится схематическое объяснение всех проведенных манипуляций и связь с номерами опытов:

Четыре полученных образца разложили равными порциями в две формы. Маффины из первой формы были приняты в качестве опытов 1-4, а из второй – соответственно 5-6. Из каждой формы мы взяли по четыре маффина с разным составом. Каждый был разрезан на 4 части и поделен между участниками эксперимента. Результаты опытов оценивались участниками по двум категориям: внешний вид и вкус от 1 до 5 баллов. Для обоих параметров был рассчитан общий счет как среднее арифметическое значение баллов, поставленных всеми участниками эксперимента. Все результаты были внесены в таблицу эксперимента.

Для проведения анализа полученных результатов эксперимента мы воспользуемся командой Analyze Factorial Design … из меню Stat \ DOE \ Factorial:

В качестве отклика (Responses) были заданы одновременно оба показателя: вкус и вид. В меню Terms (факторы) мы произвели все необходимые настройки для изучения модели – были выбраны все факторы и их комбинации:

Для предварительной оценки влияния факторов на вкус и внешний вид пирожных мы задали построение графика полунормального распределения (Half Normal Plot) в меню Graphs:

В меню Results был выбран обычный вид таблиц с результатами (Display of Results – Expanded tables) и анализ взаимодействий всех порядков (Display interactions up through order – 3):

Нажимаем Ok дважды и оцениваем полученные результаты в окне Session. Начнем с анализа диаграмм:

Вероятностные кривые по умолчанию отображают наиболее значимые факторы красными маркерами, что помогает оценить модель в целом. Также Minitab рассчитал для нас некоторые числовые показатели, которые помогут нам сделать вывод. Если вы используете программу более ранней версии, вам может потребоваться провести расчет общей линейной модели вручную. Для этого воспользуйтесь следующим алгоритмом:

  1. В меню Stat \ ANOVA \ General Linear Model выберите команду Fit General Linear Model.
  2. Укажите Responses – зависимые переменные/отклик.
  3. В поле Model – задайте факторы/независимые переменные:

Ниже приведена часть полученных в окне Session результатов исследований для отклика “вкус”:

Оценивая коэффициенты в столбце Seq SS, можно исключить наименее влияющие факторы из последующих исследований. В нашем случае все взаимодействия факторов второго и третьего порядка программа уже исключила. Мы их даже в таблице не наблюдаем. Также можно заключить, что количество сахара является статистически значимым для внешнего вида и вкуса, количество какао является статистически значимым фактором лишь для вкуса, а количество кефира в обоих случаях статистически малозначимо.

Еще один способ представления результатов анализа – диаграмма Парето для эффектов. Чтобы ее построить:

  1. В меню Stat \ DOE \ Factorial выберите Analyze Factorial Design…
  2. В появившемся окне задайте те же настройки, что мы использовали выше.
  3. Нажмите кнопку Graphs и установите флажок возле Pareto в строке Effects Plot:

Ниже приведены результаты:

Факторы, пересекающие красную линию на диаграммах Парето, являются значимыми. Не пересекающие – соответственно, малозначимыми или незначимыми.

Еще один способ графической оценки влияния факторов и их комбинаций – построение факторных графиков (Factorial Plots). Для этого:

  1. В меню Stat \ DOE \ Factorial выберите Factorial Plots…
  2. В графе Responses укажите исследуемый отклик. Выберем “вид”.
  3. Удостоверимся, что все интересующие нас факторы (Variables to Include in Plots) перенесены из поля Available в Selected.
  4. Нажмем Ok, а затем повторим все те же действия, указав в графе Responses “вкус”.

Результаты в окне Session:

Чем меньше угол между отрезком и осью на графике, тем меньше данный фактор влияет на отклик. Например, на первом графике мы видим угол почти в 90° между осью и отрезком, показывающем влияние фактора “сахар” на отклик “Вид”. Отсюда мы делаем вывод, что данный фактор является значимым. Отрезки, которые отображают влияние других двух факторов, практически полностью лежат на оси. Отсюда вывод: эти факторы малозначимы.

Также обратите внимание на сообщение над графиками: “* NOTE * There are no valid interactions to plot”. По умолчанию программа строит графики влияния (Main Effects Plot) и взаимодействия (Interaction Plot). В более ранней версии вы могли получить вот такой результат:

Последняя версия программы уже самостоятельно провела анализ и сообщила нам, что не нашла значимых взаимодействий, поэтому и не построила соответствующие графики.

Теперь перейдем непосредственно к поиску оптимального соотношения ингредиентов:

  1. В меню Stat \ DOE \ Factorial выбираем Response Optimizer…
  2. В появившемся окне мы найдем отклик – “вкус” и “вид”, но также должны указать программе, чего хотим добиться в результате эксперимента. Для каждого отклика можно по отдельности указать:
    • Do not optimize – не оптимизировать.
    • Maximize – повысить значение отклика.
    • Target – приблизить значение отклика к целевому.
    • Minimize – снизить значение отклика.
  3. Поскольку задача состоит в повышении оценки “вкуса” и “вида” к максимальному, в колонке Goal (задача) устанавливаем критерий Maximize.
  4. Мы также можем провести дополнительные настройки, нажав кнопку Setup. Например:
    • в колонке Target (цель) установим максимально возможное значение – 5;
    • в колонке Lower (нижний предел) – 3;
    • показатели Weight (вес) и Importance (значимость) оставим без изменений.

  5. Нажимаем Ok и смотрим результаты в окне Session:

Как следует из полученных результатов, максимальная оценка для вкуса (4,7) и внешнего вида (4,5) достижима при следующем соотношении ингредиентов:

  • сахара – 2/3 стакана;
  • кефира – 1/3 стакана;
  • какао – 1 столовая ложка.

Полученная модель может также использоваться для прогнозирования поведения системы при разном соотношении факторов. К примеру, если увеличить количество кефира до 0 (что соответствует половине стакана), то полученные маффины будут оценены следующим образом:

  • вкус – 4,54;
  • внешний вид – 4,58.

Кликните дважды на диаграмму в окне Session и подвиньте ползунок, чтобы получить следующий результат:

А вот рецепт, получившийся в результате эксперимента:

  • стакан муки;
  • две третьих стакана сахара;
  • 1 яйцо;
  • треть стакана кефира;
  • 100 г масла;
  • пол чайной ложки ванильного сахара;
  • чайная ложка разрыхлителя;
  • столовая ложка какао.

При таком соотношении ингредиентов маффины по мнению членов редакции сайта SixSigmaOnline.ru получаются наиболее вкусными. Вот, кстати, и они самые:

______________________________________
1,2 Планирование экспериментов: дубли и реплики

25.12.2019 / 257 / Загрузок: 0 / DMAgIC / | Теги: DOE, Minitab, шесть сигм
Всего комментариев: 0
avatar
SixSigmaOnline.ru © 2009-2020            Хостинг от uWeb