Составляем планы экспериментов (DOE) вручную

Запускаем программу статобработки данных (я использовал Minitab). Переходим Stat > DOE > Factorial > Create Factorial Design. Вносим конфигурацию согласно инструкции ниже:

  1. Оставляем тип эксперимента (Type of Design) по умолчанию – 2-level factorial (default generator), – а в меню Number of factors (количество факторов) задаем значение 3:
  2. Нажимаем кнопку Design и в появившемся окне выбираем Full factorial:
  3. Нажимаем Ok и получаем план-матрицу эксперимента типа 23:

Все операции занимают чуть менее минуты. Возникает вопрос: для чего составлять план эксперимента вручную, если с помощью программы это сделать проще, быстрее, удобнее, надежнее?

В этой публикации мы постараемся ответить на этот вопрос, а также научиться составлять некоторые планы экспериментов вручную.

Содержание:

  • Зачем может понадобиться составлять план эксперимента вручную?
  • Планы однофакторных экспериментов.
  • Полные факторные эксперименты.
    • Планы экспериментов типа 2k.
    • Планы экспериментов типа 3k и многоуровневые полнофакторные эксперименты.
  • Дробные факторные эксперименты.
  • Насыщенные дробные факторные эксперименты.

Зачем может понадобиться составлять план эксперимента вручную?

Ответов может быть несколько. Как насчет “просто ради интереса” или “чтобы понимать, откуда берутся все эти “+” и “–” в таблице”?

Составление матриц экспериментов не преподают на курсах шести сигм. По крайней мере, на тех курсах, на которых побывал я, об этом никто и словом не обмолвился. Наверное, считают это лишней информацией. Возможно и так, но лишняя не означает бесполезная.

В своей работе я часто составляю планы сам, а уже потом вношу их в программу. Таким образом я планирую последовательность опытов, учитывая факторы, значения которых тяжело изменить в сжатые сроки. Например, температура пресс-формы весом в тонну или сменная деталь станка, играющая роль одного из факторов, и т.д. Такие факторы желательно менять как можно реже в ходе эксперимента – скажем, один или два раза.

В первом примере из-за веса пресс-формы изменение температуры от опыта к опыту может занимать свыше получаса – следовательно, перерыв между каждым опытом составит то же значение. Кроме того, перед началом опыта необходимо смоделировать рабочие условия для пресс-формы, проведя несколько циклов изготовления изделий, что значительно увеличивает стоимость эксперимента. Во втором – частая замена детали приведет к увеличению времени эксперимента и потребности постоянного участия механика.

Кроме того, принципы составления матрицы опытов помогут выбрать наиболее подходящий тип эксперимента. Иными словами, чем бы Вы ни занимались и в какой бы отрасли не работали, понимание механизма составления плана эксперимента играет важную роль для успешного применения DOE на практике.

Планы однофакторных экспериментов

Эксперименты по изучению одного фактора называют однофакторными. План такого эксперимента создается предельно просто. Матрица состоит всего лишь из одной колонки, в которой перечисляются все уровни. Например, для фактора “А” план эксперимента по изучению двух уровней будет выглядеть следующим образом:

В закодированном виде, когда вы не вносите в матрицу числовые значения (70м/с или 50°C, 3500rpm), уровни могут обозначаться либо как “+” и “–”, либо цифрами.

Матрица эксперимента для изучения фактора “А” на трех уровнях:

В планах экспериментов по изучения 3-х и более уровней закодированные значения следует обозначать только цифрами.

Полные факторные эксперименты

Для изучения двух и более факторов вы можете выбрать несколько различных планов. Одним из наиболее популярных является план полного факторного эксперимента, который позволяет изучить все уровни факторов во всех возможных комбинациях.

Планы экспериментов типа 2k

Краткое обозначение "2k” отвечает полнофакторному эксперименту с k факторами, каждый из которых изучается на 2 уровнях, т.е. в ходе эксперимента каждый из факторов приобретает только 2 значения.

Для того, чтобы правильно составить матрицу эксперимента, нам необходимо знать, сколько факторов будет изучено и сколько опытов следует провести. К счастью, оба значения равны между собой (если отсутствуют реплики и не заданы центральные точки). Но это не означает, что для трех факторов достаточно провести 3 опыта.

Количество опытов в полных факторных экспериментах равно Nk, где N – количество уровней, а k – количество исследуемых факторов. Для изучения трех факторов на двух уровнях следует провести 23 опытов. Два в кубе (23) равно 8. Соответственно, количество исследуемых факторов тоже равно восьми.

Но ведь мы задали всего 3 фактора – откуда появилось еще 5?

Все дело в том, что полнофакторные эксперименты изучают влияние как факторов, так и их взаимодействий. Если количество изучаемых факторов равно трем (например, А, В и С), то число возможных взаимодействий равняется четырем (АВ, АС, ВС и АВС). Кроме того, в матрицу вводится фиктивный или нулевой фактор (обозначим X0), всегда принимающий значение +1. Таким образом, полный перечень изучаемых факторов составляет восемь: X0, A, B, C, АВ, АС, ВС и АВС. Сама же матрица примет вид:

Обычно нулевой фактор и взаимодействия исключаются из видимой пользователю матрицы плана. Это позволяет упростить матрицу и сокращает количество нагромождаемой информации, оставляя лишь самое необходимое. Исключим эти факторы и составим матрицу сначала для только для факторов A, B и C:

Для первых четырех опытов в столбце А установим значение “+”. Для оставшихся четырех, соответственно, “–“. В столбце В для первых двух опытов установим значение “+”, потом “–“ для следующих двух. Значения оставшихся четырех опытов заполним точно также: сначала два опыта со значением “+”, а потом “–“. Для столбца С каждая следующая ячейка будет содержать знак, противоположный предыдущей:

Теперь снова добавим все составляющие матрицы и заполним ее до конца:

Значения факторов A, B и C перенесены из предыдущей таблицы. Фактор X0 по умолчанию всегда равен “+”. Значения колонок, отвечающих взаимодействию факторов, следует рассчитать произведением соответствующих факторов:

  • AB = A × B
  • AC = A × C
  • BC = B × C
  • ABC = A × B × C

Для первого опыта значение AB составит (+1) × (+1) = +1. Второй опыт предполагает, что значения факторов A и B останутся без изменений, соответственно, взаимодействие AB составит тоже значение. В третьем опыте фактор B меняет значение на “–1” – соответственно, взаимодействие AB примет значение (+1) × (–1)= –1. Для взаимодействия ABC значение в первом опыте составит (+1) × (+1) × (+1) = +1, во втором – (+1) × (+1) × (–1) = –1.

Таким образом, полностью заполненная матрица примет вид:

Планы экспериментов типа 3k и многоуровневые полнофакторные эксперименты

Планы экспериментов, в которых каждый фактор изучается более чем на 2-х уровнях, называются многоуровневыми. Например, если количество уровней каждого фактора повысить до 3 (планы типа 3k), то мы получим план трехуровневого эксперимента. Матрицы таких экспериментов будут несколько отличаться от матриц экспериментов типа 2k, но несмотря на это принципы их составления остаются неизменными. Для экспериментов 2k мы обозначали уровни как “–” и “+”. Логично, что для экспериментов с большим количеством уровней следует ввести дополнительное обозначение. Чаще всего в таких экспериментах уровни факторов обозначают цифрами по порядку: 1, 2, 3…

Начнем с матрицы 32. Эксперимент предполагает исследование 2 факторов на трех уровнях. Наименьшее количество опытов для такого плана составляет 9. Следует заметить, что количество опытов в планах экспериментах типа 3k не совпадает с количеством факторов и взаимодействий, как это было замечено для планов 2k.

Ниже представлена пустая матрица опытов:

Чтобы заполнить ее, разделим план на трети: с 1 по 3 опыты, с 4 по 6 и с 7 по 9. Установим значение фактора A в первых трех опытах равным 1, для второй тройки опытов – 2, а для остальных – 3. Значения фактора B будут чередоваться от опыта к опыту. Таким образом, заполненная матрица примет следующий вид:

Для проведения эксперимента 33 потребуется реализовать 27 опытов. Принцип построения такой матрицы не будет отличаться от предыдущей:

  • Разделяем таблицу на трети: 1 – 9 опыты, 10 – 18 и 19 – 27.
  • Для первого фактора устанавливаем значение 1 в первых девяти опытах, 2 – с 10 по 18 и 3 для оставшихся опытов.
  • Для первых трех опытов устанавливаем значение фактора B равным 1, для опытов 4, 5 и 6 – 2, для опытов7, 8, 9 – 3. Точно также заполняем вторую и третью части матрицы. Получается, как будто каждую треть матрицы делим еще на три части.
  • Значение фактора C последовательно изменяем от опыта к опыту.

Учитывая, что эксперименты с изучением факторов на более чем двух уровнях – многоуровневые полные факторные эксперименты – проводятся крайне редко, мы не будем подробно останавливаться и иллюстрировать построение таких матриц. Ограничимся еще одним алгоритмом для построения матрицы плана типа 4k.

Построение матрицы эксперимента типа 4k проводится аналогично предыдущим за тем лишь исключением, что количество уровней для каждого фактора увеличивается до 4. Для эксперимента типа 43:

  • Разделяем таблицу на четверти: опыты 1 – 16, 17 – 32, 32 – 48 и 48 – 64.
  • Для первого фактора устанавливаем значение 1 в первой четверти, 2 – во второй, 3 – в третьей и 4 – для оставшихся опытов.
  • Для второго фактора меняем уровень в 4 раза чаще: 1 в опытах с 1 по 4, 2 – в опытах с 5 по 8, 3 – с 9 по 12, 4 – с 13 по 16. Затем повторяем числовой ряд.
  • Третий фактор чередуем еще в 4 раза чаще: 1, 2, 3,4, 1, 2…

Вы также можете провести алгоритм действия при заполнении матрицы эксперимента наоборот. Лично мне кажется, так проще при заполнении матриц вручную для полнофакторных экспериментов с количеством уровней 4 и выше:

  • Последовательно чередуем фактор A: 1, 2, 3, 4, 1, 2, 3, 4, 1…
  • Фактор B чередуем в четыре раза реже: 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 3…
  • Фактор C чередуем в четыре раза реже, чем фактор B: для опытов 1 – 16 устанавливаем значение 1, для 17 – 32 – значение 2 и т.д.

Дробные факторные эксперименты

Полные факторные эксперименты обладают одним значительным недостатком – количество опытов стремительно растет с увеличением числа изучаемых факторов. В следующей таблице показано минимальное количество опытов, необходимое для реализации эксперимента типа 2k в зависимости от количества факторов:

Если вам нужно изучить влияние 15 факторов на двух уровнях, то при использовании полнофакторного эксперимента потребуется провести 32 768 опытов. И это без дублей и реплик! Понятно, что такие планы могут существенно ограничить ваши исследования. У вас попросту может быть недостаточно времени и средств на их проведение.

Чтобы сократить количество опытов, применяют дробные факторные планы. Такие эксперименты обладают меньшей информативностью, но позволяют значительно сократить количество опытов.

За счет чего происходит сокращение количества опытов?

Дробные факторные планы исключают из эксперимента изучение взаимодействий факторов. К примеру, полное исключение исследования взаимодействий из эксперимента для 15 факторов позволяет сократить количество опытов с 32 768 до 16!

Для четырех факторов A, B, C и D возможны следующие взаимодействия: AB, AC, AD, BC, BD, CD, ACD, ABD, ABC, BCD, ABCD. Сложение всех факторов вместе с нулевым и взаимодействиями составит 16. Полный факторный эксперимент, соответственно, потребует проведения 16 опытов. Давайте попробуем сократить этой число в 2 раза.

Дробные факторные эксперименты записываются как N(k-p), где N – количество уровней, k – число исследуемых факторов, а p – число факторов, замещающих взаимодействия. Разница k–p называется разрешением эксперимента.

Составим матрицу для эксперимента типа 24-1. Эксперимент предполагает изучение 4 факторов, один из которых будет замещать взаимодействие между другими факторами. Разрешение эксперимента составляет 3. Минимальное количество опытов рассчитываем как 2(4-1) = 8.

Ниже представлена матрица эксперимента 23:

Введем фактор D вместо взаимодействия ABC. Значения фактора D в каждом опыте будет вычисляться произведением факторов A, B и C:

Так как фактор D приравнивается к взаимодействию трех других факторов, т.е. не считается самостоятельным, все взаимодействия с его участием исключаются. Таким образом, взаимодействия AD, BD, CD, BCD, ACD, ABD, ABCD не изучаются в ходе эксперимента.

Можно было бы предположить, что подобное исключение членов матрицы значительно скажется на точности результатов эксперимента. В ряде случаев взаимодействия между факторами действительно влияют на изучаемую систему и поэтому не могут быть исключены из эксперимента. Но в остальном пренебрежение взаимодействиями выше 2-го порядка, а иногда и взаимодействиями 2-го порядка, оправдано как минимум с точки зрения количества опытов и стоимости их проведения.

Кроме того, влияние взаимодействий сильно преувеличено, что особенно заметно для экспериментов с числом уровней, равным 2. Во-первых, взаимодействия выше второго порядка чаще всего незначительны – их вклад достаточно низкий, чтобы можно было им пренебречь. Во-вторых, изучение взаимодействий, испытывая каждый фактор только на двух уровнях, можно считать весьма условным.

Насыщенные дробные факторные эксперименты

Выше мы заменили взаимодействие 3-го порядка четвертым фактором. Исключив таким образом изучение взаимодействий некоторых факторов, мы добились сокращения количество опытов в 2 раза (по сравнению с полным факторным экспериментом).

Интересно, что матрицу из 8 опытов можно применить и для изучения большего числа факторов. Максимальное количество изучаемых факторов составляет 7, четыре из которых будут замещать все взаимодействия.

Составление таких планов, на самом деле, является довольно простой задачей, учитывая, что с предыдущей мы успешно справились. Оставшиеся взаимодействия (AB, AC, BC) в любом порядке замещаются соответствующими факторами.

Заменив взаимодействие ABC в матрице эксперимента типа 23, фактором D, получаем матрицу дробного факторного эксперимента 24-1:

Заменив одно из взаимодействий второго порядка еще одним фактором, получим план 25-2:

Как и в предыдущем случае, значение фактора в опыте будет приравниваться к замещенному взаимодействию. В примере выше E = BC, т.е. значение фактора E для каждого опыта можно вычислить как произведение значений факторов B и C.

Если заменить оставшиеся два взаимодействия 2-го порядка факторами, то получим планы экспериментов 26-3 и 27-4 соответственно. Значение факторов в обоих случаях будет приравниваться к взаимодействию двух других факторов. Например, F = AB, а G = AC.

Насыщенный план эксперимента, в котором взаимодействия всех порядков заменены другими факторами, будет выглядеть следующим образом:

Максимальное количество факторов для матрицы из 8 опытов составляет 7. При увеличении количества факторов до 8 следует использовать план из 16 опытов. Такой план тоже имеет ограничение по количеству факторов – 15. Для изучения 16 факторов следует применить матрицу из 32 опытов и т.д.

09.12.2019 / 222 / Загрузок: 0 / DMAgIC / | Теги: шесть сигм, Minitab, DOE
Всего комментариев: 0
avatar
SixSigmaOnline.ru © 2009-2020            Хостинг от uWeb