Нет ничего проще, чем сигма... ppm, Z и Cpk

Эта статья адресована тем, кто не согласен с заголовком. Если сигма кажется вам слишком сложной величиной, а ее смысл и вовсе не понятен, то вы открыли верную страницу сайта – эта статья для вас. Начинающим белым, желтым и даже зеленым поясам также рекомендую обратить внимание на этот материал. Не стесняйтесь возвращаться к азам, если чувствуете, что сигмы, СКО и стандартные отклонения составляют ваш личный “черный список” неизвестных. Ведь это значит, что в тот же список можно смело добавить σ-уровень процесса, ppm, величину Z и Cpk.

Значения и смысл σ, σ-уровня процесса, ppm, Z и Cpk приведены в ряде заметок, статей, презентаций и видеоматериалов, доступных на сайте. Все они подробно изложены в тренинге желтых поясов. Однако отрицать тот факт, что предложенная информация подходит не всем посетителям сайта, не всем участникам наших тренингов, невозможно. Ярким примером может служить распространённое заблуждение, что шесть сигм должно помещаться в диапазоне допуска, а не на отрезке между средним арифметическим и ближайшим пределом допуска. Без споров на эту тему не проходил пока еще ни один открытый вебинар. Коллеги, специально для вас:

где,

  • LSL (Lower Specification Limit) – нижний предел допуска;
  • USL (Upper Specification Limit) – верхний предел допуска;
  • μ – математическое ожидание (среднее значение)

В этой статье я попытаюсь изменить сложившуюся ситуацию и сделаю это не совсем стандартным способом. Вместо подробных пояснений каждого термина по отдельности я приведу примеры их совместного применения. Вместо формул и разжёванных определений я приведу решения практических задач. Итак, вы готовы подчинить себе сигмы? Тогда приступим.

Начнем с процесса, оперирующего на уровне 6σ. Выглядит он следующим образом:

Между математическим ожиданием (μ), или средним, и ближайшим пределом допуска (в данном случае, это верхний предел допуска или USL) помещается 6 стандартных отклонений. Сколько помещается на отрезке между средним (μ) и нижним пределом допуска (LSL)?

Правильный ответ: как минимум 6. Т.е. если математическое ожидание совпадает с серединой поля допуска (точкой посередине между нижним и верхним пределами допуска), то правильный ответ 6. Если же не совпадает, то больше шести. Сразу предвижу вопрос: а что, если между средним и нижним пределом допуска (LSL) помещается меньше шести сигм? Такое возможно?

В настоящем примере я указал, что верхний предел допуска находится ближе к среднему значению. Следовательно, расстояние от среднего значения до нижнего предела больше, чем до верхнего. Если бы между средним и нижним пределом допуска помещалось меньше сигм, ближайшим (к среднему) пределом допуска был бы нижний.

К этому моменту статьи мы добрались, не применив ни единой статистической формулы, оперируя понятием стандартного отклонения как некой мерой расстояния. Странно, однако, сигма – это ни что иное, чем мера расстояния или, если выражаться точнее, удаления. Удаления от чего? Удаления от математического ожидания – от среднего.

Теперь, если вас кто-то спросит, на каком расстоянии от среднего находится ближайший предел допуска, если процесс оперирует на уровне:

  • 6 сигм? Вы ответите: на расстоянии 6 сигм;
  • 5 сигм? Вы ответите: на расстоянии 5 сигм;
  • 4 сигм? Вы ответите: на расстоянии 4 сигм;
  • 3,285 сигм? Вы ответите: на расстоянии 3,285 сигм.

Многие физические величины принято обозначать символами. Например, в килограммах меряют физическую величину массу, которую чаще всего обозначают m; в амперах – силу тока (I), в градусах – температуру (t) и т.д. Расстояние (удаление), которое измеряют в единицах σ, обозначают символом Z.

Что показывает Z? Z показывает количество сигм, которое помещается на отрезке между средним и ближайшим пределом допуска. Если процесс оперирует на уровне 6σ (как мы выяснили выше, это значит, что между средним и ближайшим пределом допуска помещается 6σ), то чему равно Z? Z (расстояние) равно 6 сигм:

А чему равно Z, если процесс оперирует на уровне:

  • 5 сигм? – 5σ;
  • 3,285 сигм? – 3,285σ;
  • 1 сигма? – 1σ;
  • -0,5 сигм? – такого не может быть, расстояние по своей сути не может быть отрицательной величиной.

Для многих физических величин существуют таблицы. Например, существует таблица удельных весов всех химических элементов – таблица Менделеева. Существуют также таблицы перевода физических величин. Например, таблицы перевода единиц давления (Паскалей в бары и мм ртутного столбика). Для величины удаления – Z – ученые-статисты тоже придумали таблицу, и не одну. Самая распространённая – Z-таблица перевода σ-уровня процесса в количество дефектов:

Почему эта таблица распространена больше других? Потому что помогает понять, что чем большим количеством сигм можно померять расстояние между средним и ближайшим пределом допуска, тем меньше дефектов возникает в процессе. Из нее можно, к примеру, узнать, что если от среднего до верхнего предела допуска помещается 1,55 сигм, то за пределом поля допуска оказывается 0,06057 всех изделий:

0,06057 изделий не означает практически ничего: если деталь дефектна всего на 0,06057, то, скорее всего, производитель признает ее годной. А если каждая транзакция, которую проводит банк, содержит всего 0,06057 ошибок, то у банка нет проблем. Совершенно иначе обстоят дела, если речь идет о миллионе изделий или транзакций. Ведь из каждого миллиона изделий, производитель не сможет продать 60 570 единиц, а из миллиона транзакций, банк допустить ошибки в 60 570. И это только те изделия или транзакции, которые находятся выше верхнего предела допуска. Есть ведь еще нижний.

Интересно, что как только мера дистанции, измеряемая сигмами, превращается в меру дефектов или ошибок, сразу же становится понятно, в чем беда и как сигмы могут помочь ее решить. Разумеется, обойти такую прекрасную, во всех смыслах, меру измерения и не дать ей собственное имя просто невозможно. 60 570 дефектных изделий или ошибочных транзакций из миллиона – это не что иное, как 60 570 ppm (parts per million или частей на миллион). Если 0,06057 – это доли единицы, 6,057% – это доли сотни, то 60 570 ppm – это доли миллиона. Для удобства иногда минуют необходимость умножать доли единицы на 1 000 000 и приводят в Z-таблице сразу соответствующие данные в ppm:

В России скорость измеряют в километрах/час, в Англии – в милях/час. В разных странах мира работают различные ученые, и так же как Фаренгейт и Цельсий придумали различные шкалы измерения одной и той же физической величины – температуры, – так и ученые-статисты придумали не одну шкалу измерения дистанции между средним и ближайшим пределом допуска. Поэтому, если вам не по душе Z и сигмы, меряйте дистанцию, используя Cpk и безразмерные величины.

Вот так выглядит линейка с сантиметровыми и дюймовыми засечками шкалы:

А вот так выглядит распределение, на котором отмечено, сколько сигм и безымянных единиц индекса Cpk помещается между средним и верхним пределом допуска:

В начале статьи я обещал обойтись без формул и Cpk не станет тому исключением. Мы разберем весь механизм расчета, с помощью картинок. Но если уж станет совсем невмоготу, и та часть мозга, которая более склонна к математике, забьет тревогу, кликните по ссылке.

Таким образом, если процесс оперирует на уровне 6 сигм, то Cpk равен 2. Это означает, что между средним и ближайшим пределом допуска помещается 2 раза по 3σ. Если процесс оперирует на уровне 4 сигм, то в этом диапазоне 3σ помещается 1,33 раза. Т.е. Cpk равен 1,33:

Выводы:

  • Можно бесконечно долго определять σ-уровень, Z и Cpk, однако все это не более чем характеристики расстояния (удаления) ближайшего предела допуска от среднего значения.
  • Это расстояние показывает, какая часть наблюдений находится в пределах допуска, а какая выходит за них, являясь ошибкой или дефектом с точки зрения заказчика.
  • Величины σ-уровень, Z и Cpk легко конвертируемы между собой и могут быть выражены в доле дефектов – ppm.

PS: с моей стороны было бы нелогично оставить эту статью без множества дополнительных ссылок на материалы сайта, посвященные рассмотренной тематике. Ниже привожу все заметки, статьи и презентации по данной тематике:

PPS: существует множество нюансов и частных примеров, которых настоящая статья не коснулась. Также существуют исключения из приведенных выше утверждений, например, отрицательные значения Z все же встречаются в левосторонних Z-таблицах. Мне было бы очень интересно поработать над продолжением, и я обязательно приступлю к нему после того, как пойму, что тема интересна не только мне. Если настоящая публикация оказалась полезной для вас, приведенной в ней информации вам недостаточно или вы просто хотите узнать продолжение, оставьте свой комментарий ниже.

04.11.2013 / 7422 / Загрузок: 0 / DMAgIC / Комментарии: 3
Всего комментариев: 3
avatar
0
1
Сугубо практические вопросы. Можно ли линейкой, которая приведена на рисунке в тексте обеспечить измерение длины 600 мм с точностью +/-1 мм? Какая должна быть цена деления линейки, чтобы обеспечить измерения длины 600 мм с точностью +/- 1 мм?
Ответ: Ответ очень прост: минимальное деление – 1мм – определяет чувствительность.

…в отличие от нашей дискуссии (http://sixsigmaonline.ru/blog/2013-10-31-312), где речь идет не о непосредственном измерении человеков, а о среднем арифметическом – величине полученной путем вычислений, а не измерений wink
avatar
0
2
Хорошая статья! Понравилась и помогла мне привести все мои знания в систему - просто и наглядно. Один момент на мой взгляд упущен: помимо CPk есть еще и параметр CP (они равны при симметричности распределения). Пару слов бы о нем до кучи не помешало smile
avatar
0
3
Как темнота была, так и осталась. Почему 6 по обе стороны неправильно, а по одну правильно? А почему 6? А если я их сделаю уже, войдут и 56!
Клоунада
avatar
SixSigmaOnline.ru © 2009-2018            Хостинг от uWeb