Центральная предельная теорема. Второй эксперимент

В предыдущей статье мы рассмотрели, как центральная предельная теорема позволяет нам трансформировать данные. На практическом примере мы убедились, что, работая с подгруппами, нам с большой долей вероятности придется столкнуться с нормальным распределением. В случае же работы с единичными наблюдениями распределение может отличаться от нормального.

Разумеется, все это уже годами используются в статистическом контроле процессов. Например, на Xbar-R и Xbar-S картах откладывают именно средние значения групп, чем существенно повышают устойчивость анализа к различным отклонениям от нормального распределения.

В этой статье я предлагаю провести еще один опыт и на собственной практике убедиться, что еще один вывод из центральной предельной теоремы работает безотказно.

Центральная предельная теорема утверждает, что стандартное отклонение средних всегда меньше, чем стандартное отклонение, рассчитанное для единичных значений. Иными словами, если мы рассчитаем стандартное отклонение для набора чисел, то оно будет больше, чем стандартное отклонение средних арифметических для выборок из нескольких чисел.

Sсредних < Sединичных наблюдений

Попробуйте убедиться сами: рассчитайте стандартное отклонение для индивидуальных значений числового ряда:

5, 8, 6, 10, 9, 7, 0, 3, 4, 0, 7, 8, 3, 3, 7, 1, 10, 9, 5, 4, 7, 9, 6, 1, 4, 2, 1, 10, 2, 2

Затем сгруппируйте все числа по 3, определите для каждой группы среднее арифметическое и рассчитайте стандартное отклонение по средним:

Итак, если стандартное отклонение средних получилось меньше, чем стандартное отклонение единичных наблюдений, то первый опыт удался. Если нет, ищите ошибку в расчётах.

Интересно, что стандартное отклонение средних значений не только меньше, но и находится в определенной зависимости от стандартных отклонений единичных значений. Эта зависимость выражается формулой:

    где n – число наблюдений в подгруппе

Как бы вы не сгруппировали предложенные выше числа, чтобы рассчитать стандартное отклонение средних, готов спорить, что вы получили результат, весьма близкий к:

Как я узнал?

Очень просто: с помощью Minitab можно рассчитать стандартное отклонение единичных значений:

    Descriptive Statistics: Data

    Variable   N  Mean  StDev
    C7        30 5,100  3,209

Если вы следовали опыту, то вам предстояло:

  • сгруппировать все значения по 3;
  • затем рассчитать средние арифметические подгрупп и стандартное отклонение по средним.

Полагаясь на центральную предельную теорему, мне удалось избежать ручных расчетов и найти стандартное отклонение средних по формуле:

Ну что? Удался эксперимент?

Попробуйте провести его с любым другим набором чисел. Центральная предельная теорема говорит, что если разделить стандартное отклонение единичных значений на корень из числа наблюдений в подгруппе, то получим величину стандартного отклонения средних. Убедитесь в этом, используя собственный пример, и обязательно укажите результаты в комментариях.

22.04.2015 / 1436 / Загрузок: 0 / DMAgIC /
Всего комментариев: 0
avatar
SixSigmaOnline.ru © 2009-2018            Хостинг от uWeb