О бимодальном распределении и полиэтилене низкого давления

При подготовке очередного материала глоссария по теме бимодального распределения мой коллега откопал в сети очень интересный тезис. Покажется ли он столь же интересным вам, не знаю, однако понять, что такое бимодальное распределение, обязательно поможет.

Описание термина бимодальное распределение может выглядеть так сложно:

Бимодально распределенная случайная величина X определяется как Y с вероятностью α или Z с вероятностью (1 – α), где Y и Z – унимодальные случайные величины, 0 <α <1 – коэффициент смеси.

Или так просто, как мы попытались это подать в глоссарии. Однако суть того, что мы хотели донести и что, на мой взгляд, может быть интересно для специалиста шести сигм, можно свести к примеру с ростом мужчин и женщин:

Смесь двух нормальных распределений – роста мужчин и женщин – является канонической иллюстрацией к бимодальному распределению. Однако в своей статье Is Human Height Bimodal? авторы приводят опровержение этому. Разница в среднем росте мужчин и женщин слишком мала по сравнению со значениями их стандартных отклонений для получения бимодальности . Смесь двух нормальных распределений с равным по величине стандартным отклонением σ бимодальна, только если средние значения находятся на расстоянии 2σ1

Чтобы проверить это утверждение опытным путем, сгенерируем 3 набора данных:

  1. Колонка C1: среднее 10, стандартное отклонение 1, 100 наблюдений.
  2. Колонка C2: среднее 11, стандартное отклонение 1, 100 наблюдений.
  3. Колонка C3: среднее 12, стандартное отклонение 1, 100 наблюдений.

В Minitab используйте команду Calc > Random Data > Normal и внесите настройки, как показано на рисунке ниже:

Затем, используя команду Data > Stack > Stack Columns, соединим колонки попарно: C1 и C2, C1 и C3:

Если вы тоже решили поэкспериментировать, то к этому моменту у вас должно получиться примерно следующее:

Теперь построим гистограммы:

  1. В меню Graph, выберите Histogram, а затем Simple.
  2. Внесите настройки соответственно следующему рисунку:

На следующем рисунке размещены гистограммы “смесей”, а также “совмещенные” гистограммы (Histogram with groups):

На первый взгляд кажется, что и в первом, и во втором случаях можно наблюдать две моды. Однако критерий Андерсона-Дарлинга возвращает в первом случае p-value 0,614, а во втором – 0,033. Следовательно, в первом случае распределение подчиняется нормальному закону, а во втором – нет.

Давайте выделим важные моменты:

  • бимодальное распределение может свидетельствовать о смеси двух нормальных распределений, однако смесь двух одновершинных распределений с различными величинами средних не обязательно бимодальна;
  • смесь двух нормальных распределений с равными стандартными отклонениями σ будет распределена бимодально, только если средние значения находятся на расстоянии не менее 2σ.

Итак, пример с ростом мужчин и женщин не столь удачен, как могло показаться на первый взгляд. Что же может проиллюстрировать бимодальное распределение лучше?

Кроме отличного примера распределения времени переналадки, опубликованного на нашем сайте, нам удалось найти следующие интересные примеры:

  • Механическое дробление: в процессе измельчения размер частиц может иметь бимодальное распределение. Это связано с тем, что кроме дробления крупной фракции параллельно происходит конкурирующий процесс образования мелкой фракции за счет истирания поверхности.
  • Производство полиэтилена низкого давления (ПНД): на каждом этапе производства создаются различные условия, вследствие чего получают фракции с различным распределением молекулярной массы. Смешивание фракций позволяет достичь не только желаемых физико-химических свойств, но и бимодального распределения молекулярной массы ПНД

Вот такой вот ПНДэ...


А какой пример бимодального распределения можете привести вы?


______________________________________
1 “Is Human Height Bimodal?” by Mark F. Schilling, Ann E. Watkins and William Watkins, The American Statistician, Vol. 56, No. 3 (Aug., 2002), pp. 223-229

18.05.2015 / 1776 / Загрузок: 0 / DMAgIC /
Всего комментариев: 0
avatar
SixSigmaOnline.ru © 2009-2018            Хостинг от uWeb