Как получить бимодальное распределение? Часть 3

Настоящая статья продолжает цикл публикаций о бимодальном распределении. Редакция сайта настоятельно рекомендует ознакомиться с первой и второй частями перед прочтением настоящего материала.

Цель: определить, как фракционный коэффициент (а) влияет на вид кривых ƒ, которые получаются при смешивании двух нормальных распределений:

ƒ = aƒ(µ1, σ1) + (1-a)ƒ(µ2, σ2)

Для визуального анализа графического вида бимодальных распределений использовались средства демонстрационного графического калькулятора. Варьированию подвергались: значения фракционного коэффициента (а) от 0,5 до 0,9 и расстояния между модами исходных нормальных распределений (Δ = |µ12| ) от 1σ до 3σ.

Полученные результаты

Рисунок 1 – Графики распределений (красный цвет), полученные смешением двух нормальных распределений (бирюзовый цвет) с одинаковыми стандартными отклонениями (σ12=1) в различных соотношениях (а) и Δ (Δ1 = 1σ; Δ2 = 2σ; Δ3 = 3σ)


Рисунок 2 – Семейства бимодальных распределений (Δ = |µ12| = 2σ), полученные смешением двух нормальных распределений (6: µ1=-1; µ2=1; σ12=1) при значениях фракционного коэффициента (a): 1 – 0,5; 2 – 0.6; 3 – 0,7; 4 – 0,8; 5 – 0,9


Рисунок 3 – Семейства бимодальных распределений (Δ = |µ12| = 3σ), полученные смешением двух нормальных распределений (6: µ1=-1,5; µ2=1,5; σ12=1) при значениях фракционного коэффициента (a): 1 – 0,5; 2 – 0.6; 3 – 0,7; 4 – 0,8; 5 – 0,9


Выводы:

  1. При смешении двух нормальных распределений в различных соотношениях (варьируя фракционным коэффициентом (а)) получаем:
    • унимодальное распределение в диапазоне 0<Δ<2σ, плотность вероятности которого внешне напоминает кривую нормального распределения (рис. 1, серия кривых с µ1=-0.5, µ2=0.5);
    • при значениях Δ, близких к 2σ, плоская крыша (риc. 2, кривая 1) с ростом отклонения от а=0.5 превращается в ярко выраженный унимодальный пик (рис. 1, серия кривых с µ1=-1, µ2=1; рис. 2, кривые 2-5);
    • при значениях 2σ<Δ<3σ с увеличением коэффициента  (а) второй пик сглаживается  и при значениях а>0,8 пропадает.
  2. Полученные результаты могут быть полезны при установлении вида кривой распределения и дальнейшей оценке параметров распределения частиц по размерам в процессах измельчения, кристаллизации,  полимерного синтеза и т.п.

<<< Как получить бимодальное распределение? Часть 2

15.06.2015 / 972 / Загрузок: 0 / Суворов Константин Александрович /
Всего комментариев: 0
avatar
SixSigmaOnline.ru © 2009-2017            Хостинг от uWeb