Типы распределений и соответствующие им гистограммы

Гистограммы помогают наглядно представить некоторые статистики выборки, а также визуально оценить закон распределения. Так как последний зачастую представляет наибольший интерес, визуальной оценке некоторых наиболее часто встречающихся распределений мы и уделим внимание в этой статье.

Для построения гистограмм воспользуемся генератором случайных чисел в программе Minitab. Подробное руководство и урок на одном листе уже опубликованы на нашем сайте, поэтому на самой процедуре получения чисел мы детально останавливаться не будем. Для каждого случая, за исключением отдельных примеров, будем генерировать по 1000 значений. Там, где это возможно, будем оставлять значения параметров по умолчанию. А там, где программа не предлагает таких значений, будем стараться разобрать на примере, какие величины мы могли бы внести.

Статья получилась довольно длинной, поэтому для удобства навигации добавлено содержание. Каждому рассмотренному распределению соответствует отдельный самодостаточный раздел. Это значит, что нет необходимости читать все подряд, но можно обратиться к нужному разделу, чтобы найти информацию об интересующем распределении. Ну а если такой информации не нашлось, обязательно оставьте отзыв в комментариях под публикацией.

Содержание:


Нормальное распределение (Normal distribution) или распределение Гаусса

Начнем, разумеется, с нормального закона распределения. Из всех распределений в проектах шести сигм чаще всего приходится иметь дело именно с ним. Нормальному распределению может подчиняться практически любая переменная, на которую не влияют специальные факторы (например, связывающие или ограничивающие).

В силу того, что на любой процесс влияет огромное количество различных факторов, его результат никогда не принимает одно и тоже значение, но распределяется вокруг некоторого значения – математического ожидания или среднего арифметического значения, если говорить о выборке. Следовательно, генерируя случайный набор чисел, подчиняющихся нормальному закону распределения, программа попросит нас задать среднее значение – Mean, а также Standard deviation – стандартное отклонение или меру рассеивания наблюдений вокруг математического ожидания:

Если построить гистограмму нормального распределения, то говорят, что она напоминает перевернутый колокол:

Примечательно, что какие бы величины параметров (математическое ожидание и стандартное отклонение) мы не задали, форма гистограммы от этого не поменяется. Чего не скажешь о следующем испытуемом.


Распределении Chi-square или χ2 (хи-квадрат)

Попробуйте сгенерировать 2 набора данных, указав разное количество степеней свободы (Degrees of freedom) – k: 1 и 5, к примеру.

Гистограммы частично перекроют друг друга, однако на графике отчетливо видно, что с увеличением числа степеней свободы пик смещается вправо. А если задать число степеней свободы 30 или выше, то гистограмма начнет напоминать нормальное распределение.

Практикам шести сигм довольно часто приходится иметь дело с распределением хи-квадрат. В частности, оно используется в тестах гипотез. Например, для оценки того, насколько хорошо выборка может быть описана распределением Пуассона (Stat \ Basic Statistics \ Goodness-of-Fit Test for Poisson), сопряженности номинальных данных (Stat \ Tables \ Chi-Square Test for Association) и т.д.

Больше о тестировании гипотез в среде Minitab вы можете в Карте выбора теста гипотез.


Распределение Фишера или Снедекора (F-distribution)

Движемся дальше – распределение Фишера или Снедекора (F), форма которого также будет зависеть от двух параметров: числителя и знаменателя числа степеней свободы – Numerator degrees of freedom и Denominator degrees of freedom соответственно.

По сути, это две независимые случайные величины, каждая из которых подчиняется распределению χ2. Чтобы не влезать в дебри статистики и просто оценить их влияние, создайте 4 набора данных, задав следующие параметры:

Гистограммы для полученных таким образом числовых рядов будут выглядеть следующим образом:


Распределение Стьюдента (t-distribution)

Распределение Стьюдента (t) также часто применяется в статистическом анализе, к примеру, для построения доверительных интервалов, в тестах гипотез и т.д. T-критерий – частый “участник” проектов шести сигм.

Внешне гистограмма распределения Стьюдента может напоминать нормальное распределение: она также симметрична и также напоминает перевернутый колокол. Например, гистограмма распределения Стьюдента с числом степеней свободы 50 может иметь следующий вид:

Немного “упитаннее” и чуть короче хвосты, а в остальном полностью напоминает нормальное распределение.


Равномерное распределение (Uniform distribution)

На всех гистограммах выше был ярко выраженный пик. Но бывает и так, что на гистограмме присутствует большое количество пиков или вовсе нет выраженного пика. Иными словами, гистограмма представляет собой “плато”. Такие гистограммы встречаются довольно редко в проектах шести сигм и зачастую свидетельствуют о наличии специальных факторов вариации. Если каждый интервал гистограммы содержит примерно равное количество значений, то такая гистограмма называется однородной или гистограммой равномерного распределения (Uniform):

Для того, чтобы программа сгенерировала такой набор данных, нужно задать всего 2 параметра: начальную (Lower endpoint) и конечную точки (Upper endpoint). В примере выше это 0 и 20 соответственно.


Распределение Бернулли (Bernoulli distribution)

Распределение Бернулли (Bernoulli distribution) – распределение наблюдений, значения которых могут принимать лишь 2 взаимоисключающих значения: 0 или 1, успех или неудача, качественный или некачественный продукт и т.д.

При генерации чисел, программа просит задать лишь один параметр – вероятность события (Event probability),  значение от 0 до 1 (от 0 до 100%):

Вероятность того, что событие не произойдет, соответственно, равно разнице между 1 и вероятностью того, что событие произойдёт. Гистограмма такого распределения, ожидаемо, ничем нас тоже не удивит – 2 колонки, отражающее, сколько раз событие произошло и сколько раз событие не произошло:


Биномиальное распределение (Binomial distribution)

Биномиальное распределение (Binomial distribution) – также частый “участник” проектов шести сигм. Оно описывает вероятность события в серии независимых экспериментов. Например, сколько раз может выпасть число 6, если вы кинете игральную кость 10 раз? Ну или сколько бракованных изделий вы найдете, если возьмете 10 образцов из очень большой партии изделий?

Параметры распределения: количество экспериментов (Number of trials) и вероятность события (Event probability).

А вот и ответ на наши вопросы в графическом виде:

Выходит, что вероятнее всего найти 1 дефектное изделие в выборке или выкинуть шестерку 1 раз.


Геометрическое распределение (Geometric distribution)

Геометрическое распределение (Geometric distribution) – еще одно распределение, описывающее вероятность события, с тем лишь отличием, что мы получаем количество опытов до первого “успеха”. Иными словами, скольким автомобилям в конце линии нужно заглянуть под капот, чтобы найти брак?

Minitab попросит нас задать лишь вероятность – значение от 0 до 1 (от 0 до 100%). Но не спешите нажимать Ok. На сей раз при генерации чисел в диалоговом окне доступна кнопка Options. Давайте нажмем ее и посмотрим, какие возможности нам предлагает программа:

Итак, мы можем выбрать Model the total number of trials (смоделировать количество экспериментов до первого события) или Model only the number of non-events (смоделировать количество “неудач” до первого “успеха”).

Что мы видим на диаграмме? При заданной вероятности (0,1) почти 200 раз из 1000 мы нашли брак, заглянув под капот первого, второго или третьего авто. Если же проверить 10 машин, то общее значение повышается до 720 из 1000. Иными словами, вероятность вырастет до 72%.

Понятно, что до 100% можно добраться, лишь контролируя все автомобили в конце конвейера. Что, по сути, и делается на всех автомобильных заводах. Однако график показывает нам, что за 50 переваливает лишь 5 наблюдений. Это означает, что проведя контроль 49 авто, мы найдем брак с вероятностью 99,5%.


Отрицательное биномиальное распределение (Negative binomial) или распределение Паскаля

Данное распределение моделирует количество экспериментов до получения требуемого количества событий. Проводя параллель с задачей, которую мы разбирали выше, можно сформулировать вопрос так: сколько капотов необходимо открыть, чтобы найти определенное количество бракованных машин.

В отличие от предыдущего распределения – геометрического, – мы ищем количество опытов не до первого события, а до заданного числа событий. Если задать вероятность (Event probability) 0,1 и число требуемых событий (Number of events needed) 1, то получим такую же гистограмму, что и выше. Она покажет, что до первого брака нам нужно взять выборку в 49-50 авто. Но задав (Number of events needed), например, 5, получим совсем другую картину:

Чтобы найти 5 бракованных авто, придется заглянуть под сотню капотов. 117, если быть точным и придерживаться уровня 99,5%.

Говорят: “В каждой шутке есть доля правды”. Вот и из этого шутливого примера с капотами можно сделать 2 вывода:

  1. Хорошо, что современные производители машин производят на уровне 6 сигм и выше.
  2. А что это там в стороне за стоянка, и почему там крутится столько техников?

Гипергеометрическое распределение (Hypergeometric distribution)

Также, как и предыдущее, гипергеометрическое распределение описывает количество событий в серии экспериментов, с тем лишь отличием, что генеральная совокупность ограничена. Можно с уверенностью сказать, что это – любимое распределение сотрудника отдела качества, так как дает ответ на вопрос: какую выборку взять из партии, чтобы найти в ней дефект.

Параметры распределения:

  • Размер популяции – Population size (N) – это наша партия. В начале статьи мы с вами условились, что будем генерировать по 1000 наблюдений. Но чуть ниже я поясню, почему в случае гипергеометрического распределения это было не самым удачным решением.
  • Количество событий в популяции – Event count in population (M) – количество бракованных образцов в партии. Вы его не знаете, но наверняка предполагаете исходя из вероятности или предыдущего опыта с поставщиком.
  • Размер выборки – Sample size (n).

Гистограмма, которую мы получим, покажется нам весьма знакомой:

Если вы промотаете выше, то заметите что это брат-близнец гистограммы биномиального распределения. Так и есть, и в этом нет ничего странного. Распределения очень похожи, и даже примеры, которые мы с вами рассматриваем, одни и те же: партия, выборка, брак…

Это сделано не для того, чтобы вас запутать, а скорее наоборот – показать практическое применение рассматриваемых распределений. Обычно, когда вы берете образец для контроля качества, вы же не возвращаете его, чтобы потом опять выбрать случайным образом следующий образец из целой партии. Следовательно, если вы не нашли дефекта на первом образце, то вероятность нахождения дефекта на втором образце возрастает. Для описания этого подходит гипергеометрическое распределение.

Учебник по статистике или Википедия вам так и скажет: “Моделирует количество удачных выборок без возвращения из конечной совокупности”. Вот только когда вы имеете дело с большими партиями, как например партия в 1000 изделий, оба распределения могут быть с одинаковым успехом применены.

Поэтому, рассматривая биномиальное распределение, мы говорили об “очень большой партии”, а рассматривая гипергеометрическое, просто о партии и о том, что условиться генерировать 1000 значений было не самым удачным решением.

Кстати, возвращаясь к полученной гистограмме гипергеометрического распределения, можно с грустью констатировать, что если выборка в ходе приемочного контроля качества равна 20, наши поставщики могут спать спокойно, а производство – готовиться к новым вызовам.


Дискретное распределение (Discrete distribution)

Следующее распределение в списке – это дискретное (Discrete distribution). Тут следует сделать оговорку, так как это меню в списке Minitab-а предлагает нам сгенерировать некий числовой ряд с заданными величинами и вероятностями их появления в этом ряду. Это не отдельный вид распределения, а лишь общее название для распределений со счетным числом значений. Под эту категорию подпадают уже рассмотренные выше распределения: Бернулли, биномиальное, гипергеометрическое и другие.

Что нам потребуется, чтобы сгенерировать такое распределение? Нам потребуется таблица с данными и вероятностями появления этих данных. Например, для игральной кости это может выглядеть так:

У кубика 6 сторон с числами от 1 до 6. Вероятность выпадения какого-либо из них 1/6 или 0,16667:

Гистограмма для этого набора данных и такого распределения нас не удивит – она будет напоминать гистограмму равномерного распределения:

Задай вы другие величины, их количество и вероятности, гистограмма приняла бы совершенно другой вид, напоминая любое другое распределение или их смесь.


Целочисленное распределение (Integer distribution)

Опять начнем с оговорки, что это не совсем распределение – скорее, синтетический способ генерирования чисел, который предлагает нам Minitab для понимания важных теорий и практик статистического анализа.

Параметры распределения, которые нам потребуется задать: минимальное и максимальное значения. Меню, как вы заметили, очень напоминает то, как мы моделировали данные для равномерного распределения. С тем лишь отличием, что в результате мы получим только целые числа. При равномерном распределении мы могли получить целые и дробные числа.

Разделом выше мы задали величины от 1 до 6 и равные вероятности для них. Для целочисленного распределения будет достаточно задать минимальное значение (Minimum value) равным 1 и максимальное (Maximum value) – равным 6:

Гистограмма, ожидаемо, будет напоминать гистограмму равномерного распределения, а также тот график, что мы получили для дискретного распределения:


Распределение Пуассона (Poisson distribution)

Еще один частый участник проектов шести сигм – распределение Пуассона. С его помощью можно моделировать очень много процессов: количество обращений в банк за день, количество запасов для покрытия еженедельного спроса, количество инцидентов на производстве или смертей в больнице… Сложно переоценить спектр применения и важность этого распределения.

Для моделирования данных программа попросит задать всего один параметр1 – среднее значение (Mean). Давайте представим, что магазин электротоваров продает в среднем 5 пылесосов в день:

Полученная гистограмма даст возможность понять, к примеру, сколько пылесосов должно быть на складе, чтобы удовлетворить спрос с вероятностью 95%:

Чтобы не считать вручную, можно прибегнуть к анализу, который был рассмотрен в заметке Диаграмма распределения вероятностей (Probability Distribution Plot). Ну а продавай вы пылесосы десятками, можно было бы смело обратиться к нормальному распределению – с увеличением среднего распределение Пуассона все больше начинает напоминать нормальное распределение.


Бета-распределение (Beta distribution)

Данное распределение встречается реже в практике шести сигм, однако с его помощью, теоретически, можно моделировать любую случайную величину, значение которой ограничено определенным интервалом. Т.е. если стоит задача понять, когда на сайте появится новый читатель, какой срок согласования документов или любые другие SLA и т.д., то понадобится именно бета-распределение.

Для моделирования данных потребуется задать два параметра: α (альфа или First shape parameter) и β (бета или Second shape parameter). Гистограмма распределения будет зависеть от величины заданных параметров. Для понимания предлагаю сгенерировать наборы данных со следующими параметрами:

В результате получим 5 абсолютно различных гистограмм от параболической и равномерной до одновершинной симметричной и ассиметричной:

Глядя на эти графики, представьте, что α – это новый посетитель сайта SixSigmaOnline.ru, а β – пользователь Facebook. С какой вероятностью еще один человек оторвется от пролистывания темы и возьмется за голову шесть сигм?


Распределение Коши (Cauchy distribution)

Также известно как распределение Лоренца и Брейта-Вигнера. Вы наверняка встречались с этим распределением, проходя курс физики, но в проектах шести сигм это – не частый гость. Мне вот с ходу и не приходит на память проект, в котором я имел бы дело с этим распределением. Тем не менее, в списке Minitab-а это распределение есть – значит, наше дело нехитрое: генерируем данные и строим гистограмму.

У этого распределения нет математического ожидания и дисперсии, но есть коэффициент сдвига (Location) и коэффициент масштаба (Scale). Нам нет необходимости разбираться в статистике до малейших подробностей, поэтому можем условно представить, что коэффициент сдвига, даже если не представляет математическое ожидание, отражает положение пика гистограммы. А коэффициент масштаба – даже если не говорит о дисперсии – отражает размах. Также нет необходимости менять значения по умолчанию:

По сравнению с нормальным распределением, у гистограммы распределения Коши более длинные “хвосты” и острая вершина. К примеру, на графике ниже очень широкая шкала по оси X и заметна асимметрия вследствие того, что некоторые наблюдения значительно удалены от пика. Эксцесс (Kurtosis) – мера островершинности – равен 211 (у нормального распределения эксцесс близок к 0):


Экспоненциальное распределение (Exponential distribution)

Это непрерывное распределение моделирует время между двумя последовательными появлениями одного и того же события. Например, время между появлениями двух покупателей в магазине, метеоритов в небе, автобусов на остановке и даже период полураспада радиоактивных частиц будет случайной величиной с экспоненциальным распределением.

Параметры оставляем без изменений:

  • Scale – коэффициент интенсивности появления событий. С определенным допущением можем провести аналогию с распределением Пуассона и принять этот коэффициент за среднее значение.
  • Threshold – нижняя граница распределения – 0 (время между появлениями двух клиентов в магазине не может быть ниже 0).


Гамма-распределение (Gamma distribution)

Двухпараметрическое семейство абсолютно непрерывных распределений. Они применяются в различных отраслях экономики и техники, теории и практике испытаний надежности. В частности, гамма-распределению могут быть подчинены такие величины, как общий срок службы изделия, время наработки до k-го отказа (k = 1, 2, …, и т.д.). Также, это распределение используется в логистике для описания спроса в моделях управления запасами.

Параметры распределения могут называться по-разному. В Minitab это Shape parameter и Scale parameter. Чтобы оценить их влияние на распределение, сгенерируем 4 набора данных:

Также Minitab предлагает установить нижнюю границу распределения – Threshold, – но работает это так же, как и в случае с экспоненциальным распределением. Поэтому дополнительно рассматривать влияние его значения м не будем.

Судя по полученным гистограммам:

  • Первый параметр отвечает за положение пика.
  • Второй – за “ширину” гистограммы.

Распределение Лапласа (Laplace distribution)

Распределение Лапласа не часто встречается в проектах шести сигм, однако широко применимо в биологии, экономике и финансах. Для получения данных потребуется установить два параметра: Location (коэффициент сдвига) и Scale (коэффициент масштаба). Оставим значения по умолчанию:

Гистограмма распределения весьма напоминает нормальное распределение, только с более острой вершиной:


Распределения экстремумов (Extreme Value Distribution)

В этом разделе мы рассмотрим 2 распределения: распределение минимального значения (Smallest extreme value distribution) и распределение максимального значения (Largest extreme value distribution). Еще к этому семейству относится распределение Вейбулла, но его мы рассмотрим отдельно.

Как следует из названия, эти распределения помогут нам понять экстремумы: минимум и максимум. Отсюда и область применения: там, где предвидеть экстремумы очень важно. А это – анализ надежности критических процессов, финансовых рисков, страхование… Например, распределение минимального значения (Smallest extreme value distribution) может нам помочь понять при какой минимальной температуре система откажет? А распределение максимального значения (Largest extreme value distribution) – наивысшие страховые потери.

Сгенерируем данные для Smallest extreme value distribution, оставив значения параметров Location (коэффициент сдвига – отвечает положению пика) и Scale (коэффициент масштаба – отвечает дисперсии наблюдений) по умолчанию. Затем повторим тот же алгоритм для Largest extreme value distribution, оставив значения параметров по умолчанию:

Гистограммы, соответствующие распределениям:


Логистическое распределение (Logistic distribution)

Логистическая функция распределения по форме похожа на функцию нормального распределения. Её главное предназначение – моделирование данных бинарного типа. Используется, например, в медико-биологических исследованиях для анализа эффекта различных лекарств, ядов и т.д. От нормального распределения логистическое отличается длинными “хвостами” – данными, находящимися в крайних, отдалённых от центра, позициях.

Сгенерируем данные, оставив значения параметров Location (коэффициент сдвига – отвечает положению пика) и Scale (коэффициент масштаба – отвечает дисперсии наблюдений) по умолчанию:

Гистограмма логистического распределения:


Лог-логистическое распределение (Log-logistic distribution)

Лог-логистическое распределение, в отличие от логистического, является трехпараметрическим. Оно полностью повторяет логистическое распределение, однако благодаря третьему параметру – Threshold или нижней границе распределения – позволяет моделировать только часть логистического распределения – данные больше 0.

Сгенерируем данные, оставив значения параметров по умолчанию:

Гистограмма лог-логистического распределения:


Логнормальное распределение (Lognormal distribution)

Частным случаем нормального распределения является логнормальное распределение. Оно является непрерывным унимодальным распределением и имеет положительную асимметрию. Этому распределению с заданной степенью приближения подчиняется, например, размер фракций гравия или града. Аналогичные примеры: длительность часто повторяемого события (время выполнения операции на конвейере) или размер зарплат футболистов одного клуба. Как правило, значительно большее количество игроков имеет среднюю зарплату, но есть игроки-звезды мирового класса, которые зарабатывают значительно выше других игроков (правый хвост гистограммы).

Сгенерируем данные, оставив значения параметров по умолчанию, и построим гистограмму логнормального распределения:


Распределение Симпсона или треугольное распределение (Triangular distribution)

Довольно интересное распределение, которое не часто встретишь в проектах шести сигм. Его можно получить “синтетически”, как мы это сделаем ниже, задав начальную точку (Lower endpoint), моду (Mode), и конечную точку (Upper endpoint):

В таком случае этот упрощенный закон поможет нам помочь понять распределение при отсутствии или ограниченном количестве данных. Например, у нас может не быть достаточных данных для оценки стоимости постройки нового здания. Но мы можем оценить минимум, максимум и наиболее вероятное значение. И раз у нас недостаточно данных, чтобы сформулировать гипотезу об ином распределении, построим гистограмму треугольного распределения:

Мы также можем получить треугольное распределение путем сложения или вычитания двух переменных, подчиняющихся равномерному закону распределения. На отдельном листе я сгенерировал 2 колонки по 1000 наблюдений, подчиняющихся равномерному распределению:

Затем, используя функцию Calc \ Calculator, создал еще одну колонку, значения в которой являются результатом вычитания первой и второй колонок:

Гистограмма полученных таким образом наблюдений также будет напоминать треугольное распределение:

Это свойство позволяет применять треугольное распределение для моделирования сложных законов распределения. К примеру, так можно представить некоторые природные явления, бизнес-процессы, аудио размывание (audio blur)…


Распределение Вейбулла (Weibull distribution)

Распределение Вейбулла может быть применимо для моделирования широкого спектра задач. Однако в проектах шести сигм, это неизменный участник анализов надежности и определения времени до отказа.

Чтобы получить данные, задайте следующие параметры:

  • Shape parameter (k) – коэффициент формы.
  • Scale parameter (λ) – коэффициент масштаба.
  • Threshold parameter – нижняя граница распределения, оставляем значение по умолчанию.

Кстати, иногда говорят о распределении Вейбулла как о двухпараметрическом, а иногда – как о трех. Как вы видите выше, нам требуется задать 3 параметра. Т.е. распределение на самом деле трехпараметрическое. В то же время, задав Threshold равным 0, получаем двухпараметрическое распределение.

Давайте снова сгенерируем несколько наборов данных, чтобы оценить влияние параметров на форму гистограммы:

В результате получим 4 гистограммы, из которых можно заключить, что первый параметр – Shape parameter (коэффициент формы или k) – “двигает” пик, а второй - Scale parameter (коэффициент масштаба или λ) – определяет “ширину” гистограммы:


Многомерное нормальное распределение (Multivariate normal distribution)

Вы могли заметить, что двигаясь по списку доступных в меню Minitab распределений, мы упустили многомерное нормальное распределение. Это было сделано умышленно, так как и с данными, и с графиком нам придется повозиться. Но не стоит переживать. В этом распределении нет ничего сложного.

По сути, мы уже разобрали его частный случай – одномерное нормальное распределение. Просто мы не говорили, что оно одномерное. Многомерное можно представить как результат, зависимый от двух переменных, подчиняющихся нормальному закону распределения.

Давайте сгенерируем две колонки по 1000 наблюдений, удовлетворяющих нормальному закону распределения. Параметры – среднее и стандартное отклонение – в данном случае не имеют значения, хотя мы можем представить, что в одной колонке у нас будет температура (180°C), а в другой давление (760мм рт. ст.).

В меню Graph выберите Marginal Plots и в появившемся окне кликните на иконку With Histograms:

В следующем окне задайте колонки С1 и С2 в качестве переменных X и Y:

Нажав Ok, получим следующий результат:

Каждая точка на графике соответствует результату, который мы получим при определенной величине температуры и давления: где-то пирожки недопекутся, а где-то пригорят.

В проектах шести сигм многомерное нормальное распределение используется крайне редко. Однако некоторые методики анализа (факторный анализ, MANOVA) основываются на предположении, что данные подчиняются многомерному нормальному распределению.

Вот далеко не полный перечень типов существующих распределений и соответствующих им гистограмм. Внешнее отличие построенной вами гистограммы от перевернутого колокола еще совсем не означает, что данные собраны неправильно или что процесс нестабилен. Однако это всегда заставляет исследователя задуматься и постараться найти объяснение такому результату.

09.06.2020 / 74131 / Загрузок: 0 / DMAgIC / Комментарии: 1
Всего комментариев: 1
avatar
0
1
Спасибо!
avatar
SixSigmaOnline.ru © 2009-2021            Хостинг от uWeb